blogs de matematicas: septiembre 2010

POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini).

Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ejemplo: x⁴+6x³+x²-24x+16

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16

16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión

Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16.

Probamos con 2: Si x⁴+6x³+x²-24x+16,

Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

(x³+2x²-7x+4) (x+4)

4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario

En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

(x²+3x-4) (x-1) (x+4)

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

= (x+4)² (x-1)²

Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original.

= x⁴+ 6x³+ x²- 24x + 16

= (-4)⁴ + 6(-4) + (-4)² - 24(-4) + 16

= 256-384+16+96+16

= 0 es lo que debe suceder

Ejemplo2. x³-3x-2

Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x² en su lugar ponemos cero

1 0 -3 -2 1

1 1 -2

1 1 -2 -4 NO

1 0 -3 -2 -1

-1 +1 +2

1 -1 -1 0 SI

(x²-x-2) (X-1) El trinomio es de la 2da. Forma

(x-2) (x+1) (x-1)

Comprobación:

= x³-3x-2

= (-1)³ – 3(-1) – 2

= -1 + 3 -2

= 0

Ejemplo3. x³+ 16x - 5 - 8x²

Ordenamos: x³- 8x²+ 16x - 5

Tomamos los coeficientes: 1 – 8 + 16 – 5

Consideramos los divisores de 5 que son: +1, -1, +5, -5

Probamos con +1 : 1 – 8 + 16 – 5 +1

1 -7 +9

1 -7 +9 +4 NO

Probamos con +5: 1 – 8 + 16 – 5 +1

+5 -15 +5

1 -3 +1 0 SI

Por consiguiente el polinomio es divisible por (x-5) y la factorización es:

x³- 8x²+ 16x - 5 = (x-5) (x²-3x+1)

Comprobación: si a = ±5 al reemplazar en el polinomio debe darnos cero.

= (+5)³ – 8(+5)² + 16(+5) -5

= 125-200+80-5

= 0 es lo que debe darnos

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).

La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio

Antes que todo, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios

Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c

Polinomios

Factor común

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

$ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,$

$ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,$ si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

$5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,$

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

$(5x^2 + 3x +7) \,$

La respuesta es:

$(x -y)(5x^2 + 3x +7) \,$

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

$5a^2(3a+b) +3a +b \,$

Se puede utilizar como:

$5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,$

Entonces la respuesta es:

$(3a+b) (5a^2+1) \,$

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

$2y + 2j +3xy + 3xj\,$

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

$= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,$

Aplicamos el primer caso (Factor común)

$= 2(y+j)+3x(y+j)\,$

$= (2+3x)(y+j)\,$

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P.)

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,$

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,$

Ejemplo 2:

$(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,$

Ejemplo 3:

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,$

Ejemplo 4:

$4x^2+25y^2-20xy\,$

Organizando los términos tenemos

$4x^2 - 20xy + 25y^2\,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x - 5y)^2\,$

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)

$(ay)^2-(bx)^2= (ay-bx)(ay+bx)\,$

O en una forma más general para exponentes pares:

$(ay)^{2n}-(bx)^{2m}= ((ay)^n-(bx)^m)((ay)^n+(bx)^m)\,$

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

$(ay)^n-(bx)^m= ((ay)^{n/{2^r}}-(bx)^{m/{2^r}})\cdot \prod_{i=1}^{r} ((ay)^{n/{2^i}}+(bx)^{m/{2^i}}) \,$

Ejemplo 1:

$9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,$

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

$(2y)^6-(3x)^{12}= ((2y)^{6/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot\prod_{i=1}^{2} ((2y)^{6/{2^i}}+(3x)^{12/{2^i}})= \,$

$((2y)^{3/2^2}-(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2^2}+(3x)^{12/2^2})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{12/2})= \,$

$((2y)^{3/4}-(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/4}+(3x)^{3})\cdot((2y)^{3/2}+(3x)^{6}) \,$

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

$x^2+xy+y^2=x^2+xy+y^2+(xy-xy)=x^2+2xy+y^2-xy=(x+y)^2-xy\,$

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están meramente a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

$a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,$

Ejemplo:

$x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,$

Ejemplo:

$y^2+0y-4 = (y+2)(y-2)\,$

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera:

$x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,$

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

$x^n-y^n = (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^2 +... +xy^{n-2}+y^{n-1}) \,$

Ejemplo:

$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) \,$

$a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \,$

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII - Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, ósea sin una parte literal, así:

$4x^2+12x+9\,$

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer término(4x²) :

$4x^2+12x+(9\cdot4)\$

$4x^2+12x+36\,$

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

$6\cdot6=36$

$6+6=12\,$

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

$(4x+6)(4x+6)\,$

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

$\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\,$ : $=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,$

Queda así terminada la factorización :

$(2x+3)(2x+3)\,$ : $=(2x+3)^2\,$

Caso IX - Cubo perfecto de Tetranomios

Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

$(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,$

$(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,$

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jueves, 2 de septiembre de 2010

Ejercicios

REGLA DE RUFFINI

Factorizacion