REGLA DE RUFFINI

POLINOMIOS: REGLA DE RUFFINI

En algunos casos es conveniente factorizar los polinomios mediante divisiones sintéticas (regla de Ruffini).

Esta regla se aplica en polinomios cuyos factores son de la forma (x ± a)

Esta regla nos dice que “un polinomio tiene por factor (x ± a) si al reemplazar el valor x por “a” en el polinomio, el resultado es cero. El valor de “a” de los posibles factores de la expresión, es un divisor del término independiente del polinomio”.

Ejemplo: x⁴+6x³+x²-24x+16

El posible valor de “a” deber ser divisor del término independiente es este caso 16

16 tiene por divisor 1,2,3,4,8,16. cualquiera de ellos puede ser el que haga cero la expresión

Para dividir en forma sintética, tomamos los coeficientes del polinomio y dividimos para los divisores de 16.

Probamos con 2: Si x⁴+6x³+x²-24x+16,

Sus coeficientes en orden son:

1 6 1 -24 16

2 16 34 20

1 8 17 10 36 NO

	2. Multiplicas por el divisor y ubicas bajo el 3er.coeficiente y asi sucesivamente hasta terminar todos los coeficientes

1 6 1 -24 16 -4

-4 -8 28 -16

3. Compruebas que la operación con el ultimo coeficiente te de cero caso contrario busca otro divisor y vuelve a intentar

1 2 -7 4 0 SI

Coeficientes resultantes

(x³+2x²-7x+4) (x+4)

	4. Si obtienes cero entonces ese divisor es el valor de la variable y para que sea cero el factor será con el signo contrario En nuestro caso nos salió para -4 entonces el factor es (x+4)

Volvemos a dividir:

1 2 -7 4 1

1 3 -4

1 3 -4 0 SI

5. El polinomio se factora entonces disminuyendo un grado al polinomio inicial tomando los coeficientes resultantes.

(x²+3x-4) (x-1) (x+4)

(x+4) (x-1) (x-1) (x+4)

= (x+4)² (x-1)²

Comprobación como nos dio cero cuando a=-4 reemplazamos en el polinomio original.

= x⁴ + 6x³ + x² - 24x + 16

= (-4)⁴ + 6(-4) + (-4)² - 24(-4) + 16

= 256-384+16+96+16

= 0 es lo que debe suceder

Ejemplo2. x³-3x-2

Debes cuidar los espacios correspondientes de los exponentes en este caso no existe x2 en su lugar ponemos cero

1 0 -3 -2 1

1 1 -2

1 1 -2 -4 NO

1 0 -3 -2 -1

-1 +1 +2

1 -1 -1 0 SI

(x²-x-2) (X-1) El trinomio es de la 2da. Forma

(x-2) (x+1) (x-1)

Comprobación:

= x³-3x-2

= (-1)³ – 3(-1) – 2

= -1 + 3 -2

= 0

Ejemplo3. x³ + 16x - 5 - 8x²

Ordenamos: x³- 8x² + 16x - 5

Tomamos los coeficientes: 1 – 8 + 16 – 5

Consideramos los divisores de 5 que son: +1, -1, +5, -5

Probamos con +1 : 1 – 8 + 16 – 5 +1

1 -7 +9

1 -7 +9 +4 NO

Probamos con +5: 1 – 8 + 16 – 5 +1

+5 -15 +5

1 -3 +1 0 SI

Por consiguiente el polinomio es divisible por (x-5) y la factorización es:

x³- 8x² + 16x - 5 = (x-5) (x²-3x+1)

Comprobación: si a = ±5 al reemplazar en el polinomio debe darnos cero.

= (+5)³ – 8(+5)² + 16(+5) -5

= 125-200+80-5

= 0 es lo que debe darnos